Большая советская энциклопедия - асимптотическое выражение

Асимптотическое выражение, сравнительно простая элементарная функция, приближенно равная (с как угодно малой относительной погрешностью) более сложной функции при больших значениях аргумента (или при значениях аргумента, близких к данному значению, например нулю); А. в. иногда называется также асимптотической формулой или оценкой. Точное определение: функция j(x) является А. в. для f(x) при х ® ? (или х ® а), если f(x)/j(x) ® 1 при х ® ? (или х ® а), или, что то же самое, если f(x) = j(x)1 + a(x), где a(х) ® 0 при х ® ? (или х ® а). В этом случае пишут: f(x) Асимптотическое выражение j(x) при х ® ? (или х ® а). Как правило, j(x) должна быть легко вычислимой функцией. Простейшими примерами А. в. при х ® 0 могут служить sinx Асимптотическое выражение x, tgx Асимптотическое выражение x, ctgx Асимптотическое выражение 1/x, 1 - cosx Асимптотическое выражение x22, ln(1 + x) Асимптотическое выражение x, ax - 1 Асимптотическое выражение xlna (a > 0, a ? 1). Более сложные А. в. при х ® ? возникают для важных функций из теории чисел и специальных функций математической физики. Например, p(x) Асимптотическое выражение x/lnх, где p(x) — число простых чисел, не превосходящих х, где Г(u) — гамма-функция , для целочисленных значений х = n имеем Г(n + 1) = n!, что приводит к Стирлинга формуле: Еще более сложными А. в. обладают, например, Бесселя функции. А. в. рассматриваются также в комплексной плоскости z = x + iy. Так, например, sin(x + iy) Асимптотическое выражение e/y//2 при y ® ? и y ® -?. А. в. является, вообще говоря, частным случаем (главным членом) более сложных (и точных) приближенных выражений, называемых асимптотическими рядами, или разложениями. Лит.: де Брейн Н. Г., Асимптотические методы в анализе, пер. с англ., М., 1961; Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 2 изд., М., 1962. В. И. Левин.